Siirry pääsisältöön

Jarpin likiarvokaava

 Ympyrän säteen laskeminen segmentin kaaren pituuden ja jänteen pituuden perusteella.

Ympyrän säteen laskemiselle segmentin kaaren ja jänteen pituuksien perusteella ei ole olemassa valmista kaavaa. Nyt kuitenkin kehitin likiarvokaavan jolla säde saadaan laskettua melkoisella tarkkuudella kyseisten parametrien avulla.

Johdanto

Idea kaavaani sain Heronin kaavasta. Siinähän kolmion pinta-ala voidaan laskea kolmion sivujen pituuksien eli kolmion piirin perusteella. Tilanne on vähän samantapainen kun koetetaan laskea ympyrän säde segmentin kaaren ja jänteen pituuksien perusteella.

Segmentin yhtälöistä joissa esiintyy säde, kaari ja jänne ei voida ratkaista sädettä ulos vaan säteen laskemiseen on käytettävä numeerisia menetelmiä, esim. suoraa iterointia tai välinpuolitusmenetelmää.

Tämän vuoksi oli perusteltua alkaa kehittelemään likiarvokaavaa jolla ongelma kierrettäisiin. Hyvällä likiarvokaavalla päästään nopeammin samaan tavoitetarkkuuteen kuin numeerisilla menetelmillä.

Lähtötilanne

Aluksi piti valita kuinka alkaisin lähestyä ongelmaa. Tarkastellaanpa ensin ympyrää ja segmenttiä:


Luontevimmalta tuntui lähteä liikkeelle ympyrän säteen (r) yhtälöstä jossa säde voidaan ratkaista säteen ja segmentin korkeuden erotuksen (r - hs) ja jänteen puolikkaan (k / b) avulla pythagoraan lauseella:


missä r on säde, hs on segmentin korkeus ja k on jänteen pituus


Kun tästä ratkaistaan säde (r) saadaan:


missä r on säde, hs on segmentin korkeus ja k on jänteen pituus

Approksimoitu suorakulmainen kolmio

Seuraavaksi täytyi määrittää segmentin korkeus (hs). Päädyin käyttämään trigonometriaa ja approksimoin suorakulmaisen kolmion jossa segmentin korkeus (hs) on vastainen kateetti, jänteen puolikas (k / 2) on viereinen kateetti, kaaren puolikas (b / 2) on hypotenuusa ja kulma on alfa (α):


Koska viereinen kateetti (k / 2) ja ”hypotenuusa” (b / 2) tiedetään on kulman kosini:


missä α on kulma, k on jänteen pituus ja b on kaaren pituus


Kun tästä ratkaistaan kulma (α) saadaan:


missä α on kulma, k on jänteen pituus ja b on kaaren pituus


Nyt kun kulma (α) ja viereinen kateetti (k / 2) tiedetään voidaankin laskea segmentin korkeus (hs, vastainen kateetti). Kulman tangentti on:


missä α on kulma, k on jänteen pituus ja b hs on vastainen kateetti


Kun tästä ratkaistaan segmentin korkeus (hs) saadaan:


missä hs on segmentin korkeus, α on kulma ja k on jänteen pituus


Kun kulman (α) paikalle sijoitetaan aiemmin saatu kulman lauseke saadaan segmentin korkeuden (hs) lauseke:


missä hs on segmentin korkeus, k on jänteen pituus ja b on kaaren pituus

Nyt segmentin korkeus (hs) on lausuttu kaaren pituuden (b) ja jänteen pituuden (k) avulla.


Korjausluku

Koska suorakulmainen kolmio oli approksimoitu ja kaaren pituus (b / 2) ei vastaa todellisuudessa kolmion hypotenuusaa ei yhtälö anna tarkkoja tuloksia. Niinpä yhtälö tarvitsi jonkinlaisen korjausluvun.

Korjauslukua etsittäessäni tarkastelin segmentin todellista korkeutta (hs1) ja approksimoidusta kolmiosta saatua korkeutta (hs2) graafisessa esityksessä:


missä hs1 on segmentin todellinen korkeus ja hs2 on approksimoidusta kolmiosta saatu korkeus


Nähdään että segmentin todellinen korkeus on nouseva käyrä (tässä segmentin korkeus on laskettu segmentin keskuskulman funktiona (10 astetta, 20 astetta...)). Nyt vain arvioin kuinka approksimoidun korkeuden saisi lähestymään oikeaa korkeutta ja melko pian huomasin että helpointa on lisätä sopiva potenssi korkeuden (hs2) lausekkeen k/2 jakajaan:


missä hs on segmentin korkeus, k on jänteen pituus, b on kaaren pituus ja w on korjausluku


Yrityksen ja erehdyksen kautta sain määritettyä korjausluvun arvot. Korjausluku w on 1,21868 kun kaaren pituus on puolet ympyrän piirin pituudesta tai sitä pienempi. Kun kaaren pituus on yli puolet ympyrän piirin pituudesta korjausluku w on 1,5.

Lopullinen likiarvokaava

Sijoitetaan korjausluvulla varustettu segmentin approksimoitu korkeus (hs) lähtötilanteen säteen (r) yhtälöön ja saadaan yhtälö:


missä r on säde, k on jänteen pituus, b on kaaren pituus ja w on korjausluku


Tämä on nyt säteen (r) lopullinen likiarvoyhtälö. Yhtälö ei ole yksinkertainen mutta kuitenkin tietyllä tapaa esteettisesti tasapainoisen näköinen. Lähtökohtaisesti onkin yleensä niin että tapauksissa missä likiarvokaavaa tarvitaan on kaava yleensä sitä monimutkaisempi mitä tarkempia arvoja se antaa.

Kaavan tarkkuus

Korjausluvun ansiosta yhtälö antaa säteen r arvon noin 0,7 % tarkkuudella kun kaaren pituus on puolet ympyrän piirin pituudesta tai sitä pienempi ja noin 5,0 % tarkkuudella kun kaaren pituus on yli puolet ympyrän piirin pituudesta. Aivan k:n ja b:n vaihteluvälien ylä- ja alapäässä (segmentin keskuskulma < 10 astetta ja segmentin keskuskulma > 350 astetta) heitto on isompi. Käytännössä laskeminen tapahtuu lähes aina silloin kun kaaren pituus on puolet ympyrän piirin pituudesta tai sitä pienempi joten yleensä tarkkuus on tuo noin 0,7 %.

Tällaista tarkkuutta voidaan pitää hyvänä likiarvokaavalle. Kaavan voidaan siis todeta kilpailevan iterointimenetelmien kanssa tasaväkisesti.

Loppupäätelmät

Vaikka likiarvokaava onkin tarkka on perusteltua miettiä kuinka tarpeellinen se on. Kuinka usein tulee vastaan tehtävä jossa segmentin kaaren ja jänteen pituudet tiedetään ja täytyisi niiden perusteella pystyä laskemaan muita ympyrän parametreja? Voidaan arvioida että ei kovin monesti.

Kuitenkin nyt tällainenkin on olemassa. Monestiko matematiikan historiassa on kehitelty ja löydetty menetelmiä yms. joille ei sillä hetkellä, tai myöhemminkään, ole ollut käytännön sovellusta? Aika monesti. Matematiikkaa voi ja pitääkin tutkia ja kehittää sen itsensä vuoksi. Ja lisäksi: matematiikka on hauskaa.

Kaava saakoon nimen ”Jarpin likiarvokaava”.


Jarpin likiarvokaava (matematiikkalehti Dimensio)

https://www.tiede.fi/keskustelu/86331/jarpin-likiarvokaava

https://www.nollakohta.fi/

https://blog.edu.turku.fi/mikan-matikkaa/tasogeometria/


Konetietokone-Insinööriteknikko

Jarppi 92


Jos tykkäsit tästä sivusta, jaathan sitä eteenpäin, kiitos!



Kommentit

Suositut postaukset:

Turha julkkis

Turha julkkis Aluksi olin heiverö, jota kaikki kiusasivat koulussa. Käteni olivat kuin rihmarullalangan päässä heiluvat solmut. Turpiin tuli koulumatkoilla mennen, tullen ja palatessa. Tyttöjä en saanut, kun en uskaltanut niille suutani avata, eikä minulla olisi seisonutkaan. Lähestymistä haittasi sekin, että mennessäni kahta metriä lähemmäksi heitä he erittivät suuntaani sylkeä hallitsemattomasti. Kaikki sukulaiseni kuolivat samassa rytäkässä. Asuin sijoitettuna perheessä jossa isä oli juoppo, äiti naispuolinen piru, poika väkivaltainen roisto ja ihmissyöjä ja tyttö narkomaanihuora. Lisäksi menestyin koulussa todella huonosti. Paras numero todistuksessani oli nelonen. Viimein toinen puoleni halvaantui, sain astman ja ainoa pesäpallomailani, sekin itse tekemäni, katkesi varresta poikki. Nyt elämäni muuttui. Suivaantuneena menin ultimate fighting -kurssille, aloin bodaamaan, kirjoittauduin sisään yliopistoon ja hankin sivutöitä Nokian johtokunnasta. Parin kuukauden kuluttua juoks

Minä ♥ Kinnula (T)

Minä ♥ Kinnula (T) Kävin isänpäiväviikonloppuna kotikylässäni Kinnulassa.  Aluksi kävin hautausmaalla kunnioittamassa pääasiassa isäni puolen sukulaisia ja veljiäni. R.I.P: Isän isäpuoli maanviljelijä ja sotaveteraani Urho Matti Tiainen. Isän äiti emäntä Rauha Esteri Tiainen (ent. Sääksjärvi, os. Kuusjärvi). Isä metsuri Heikki Valdemar Ihonen. Isäpuoli metsuri Leo Gabriel Hautala. Veli rekkakuski Harri Leo Matias Hautala. Veli lapsi Jouni Onni Jalmari Ihonen. Isän ottoisä metsuri, pienviljelijä ja punakaartilainen Jalmari Antinpoika Ihonen. Isän ottoäiti emäntä Aino Ihonen (os. Pajuoja). Isän isä suutari ja sankarivainaja korpraali Voltemar Jalmari Sääksjärvi. Seuraavaksi olikin iloisempi tapahtuma eli kummi- ja veljentyttöni yksivuotissynttärit :) Kummitäti Heidi, pikkuveljeni ja kummitytön isä Jarmo "Turbo-Diesel", kummitytön äiti Piia, kummitytön isoveli Rasmus, minä eli kummasetä Jarppi ja sylissä synttärisankari kummityttö Lumina Hilla Inari Seuraavaksi kävimme veljeni

Pistooli (T)

Pistooli (T) Perustuu tositapahtumiin eli isäni ottoäidin kertomukseen jonka hän oli kuullut isäni ottoisältä. Tapahtunut ehkä jossain Lahden - Kosken välisellä alueella ennen antautumista. Nimet muutettu. Tarina kertoo kuinka saksalaispistooli Mauser 6,35 oli päätynyt Jallun käsiin vuoden 1918 sisällissodassa. Pistoolin myöhemmistä vaiheista kerrottakoon sen verran että sodan jälkeen Jallu oli saanut sen takaisin itselleen ja sitä oli varastoitu siitä lähtien hänen tyynynsä alla. Tämä tapa oli pelastanut hänet 30-luvun muilutuksilta. Jallu huomasi miehet ensin. Kontatessaan rinteen laelle hän näki kuinka kaksi kypäräpäistä hahmoa seisoi alempana tienvarsipusikossa lähellä mutkaa. Kumpikin roikotti asetta kainalossaan. Vaikka he välillä näyttivätkin vaihtavan pari sanaa keskenään piti koko ajan ainakin jompikumpi tietä tarkasti silmällä. Eivät mitään ökytalojen nisupoikia sotaa leikkimässä. Oikeita sotilaita. Ulkomailta ja vielä isosta maasta. Polkupyörät makasivat hieman kauempana oja

Eppujen biisin Kuuvartalo yöllä puhkianalysointi (T)

Eppujen biisin Kuuvartalo yöllä puhkianalysointi (T) Aloitetaan analysoimalla puhki Eppu Normaalin kappale Kuuvartalo yöllä (sanat: Mikko Saarela). ” Nyt kaulaan kraka paa, lähde katsomaan pyörivää pakaraa” Ollaan siis menossa vähän parempien kemppaisten eroottiselle klubille kun täytyy kravattikin olla. Ja tietysti kahtelemaan eroottista tanssia. Vähintäänkin. Tässä tapauksessa erästä tiettyä esiintyjää. ”Se loukkaa kaunista vartaloas, kuin uittais rakastajatarta loas” M ies jumaloi tätä tiettyä naista niin että pitää häntä liian hyvänä tanssimaan kaiken maailman kuolaajille. Semmonen on loukkaus jo naisen kaunista vartaloakin kohtaan. Vertaus rakastajattaren loassa uittamisesta kertonee kaiken. ”Mutta se kummasti kiihottaa kun vartalos verhotta liihottaa” M iehen on kuitenkin myönnettävä itselleen että tämän naisen alastoman vartalon liihottelu kiihottaa häntäkin. Vaikka hänen tunteensa ovatkin hänen itsensä mielestä ylevämpiä kuin peruskyrpyreiden. Ilmassa saattaa oll

Juicen biisin 3.30 puhkianalysointi (T)

  Juicen biisin 3.30 puhkianalysointi (T) Jatketaan analysoimalla puhki Juicen kappale 3.30 (sanat: Juice Leskinen). Löytyy Juice Leskisen ja Mikko Alatalon yhteisalbumilta Juice ja Mikko (1975). Kappaleen tulkitsee Juice ja se sisältää kuuluisan kitarasoolon jonka Petteri Salminen soitti 50 pennin kolikolla. ” 3.30" Kello on jo paljon. Tai vähän. Riippuu onko optimisti vai pessimisti.  On se kellonaika kun tavallisetkin asiat ovat vuorien kokoisia.  Tai se aika kun portsari heittää lumihankeen ja pilottitakin perään.  Tai sitten vietän aikaa veljieni, ystävieni tai vain ihmisteni kanssa ja toivon että yö ei päättyisi koskaan.  Mutta se päättyy. Joka kerta. ” Rakasta minua nyt kun kaikki muut ovat menneet.” Tuttua. Mutta miksi muut ovat menneet?   Koska maailmassa on virhe. Koska maailmassa on muutakin kuin rakkaus. Valitettavasti muiden on tehtävä valintoja silloinkin kun minun ei tarvitsisi. Ja joskus rakkaus jota osoitetaan muualta kuin ihan vierestä ei vain riitä. Ei ainakaan

Savikiekot

Savikiekot Pojat kävelevät vanhaa viljelystietä. Etummaisella heistä, Reijolla, on vanha rinnakkaispiippuinen haulikko olallaan. Hänen askelluksensa on varmaa huolimatta siellä täällä esiin pistävistä juurakoista ja maakivistä. Muut kaksi, Tarmo ja Mika, pysyttelevät perässä miten kuten. Tarmon kulkua hankaloitti vilkas luonne, joka pakottaa hänet tuon tuostakin irroittamaan huomion tien epätasaisuuksista, sekä iso pussillinen savikiekkoja. Mika taas kulkee katse maassa, mutta niin ajatuksissaan, että on jatkuvasti vähällä kompastua mihin milloinkin. Hänellä on kantamuksenaan käsiheitin. Kukaan ei puhu mitään, lukuunottamatta Mikaa, joka aina kengän tarttuessa juureen tai kantoon kiroaa sähähtelemällä. Tie päättyy. Edessä leviää laajahko peltoaukea. Oikealla se päättyy pieneen mutkittelevaan puroon, vasemmalla taas liiankin harvan näköiseksi harvennettuun kuusikkoon. Parin kolmen saran päässä aukio näyttää leviävän kauemmaksi vasemmalle. Noin kilometrin päässä suoraan edessä pellot pää

Massaridelinen kenttä (T)

Massaridelinen kenttä (T) Postulaatti: On olemassa sähkömagneettista kenttää täysin vastaava analoginen massaridelinen kenttä. Muutamia perussuureita: m´ (massavirta) = [kg/s] r (säde) = [m] P (teho) = [W, watti ] = [(kgm 2 ) /s 3 ] W (työ) = [J, joule] = [(kgm 2 )/s 2 ] ρ (tiheys) =  [kg/m 3 ] = m / V =  [kg/m 3 ] v m´ (massavirran nopeus) = [m/s] = (m´ / ( ρ  A)) = [(kg / s) / ((kg m 2 ) / m 3 ) ] = [m/s] p m´ ( massavirran paine) =   [Pa, pascal] =   ½ ρ v m´ 2   = [( ½) ( kg / m 3 ) ( m / s ) 2 ] = [kg/(ms 2 ) ] Johdettuja suureita: Viably (U V ) U V (viably) = [S X , s aax] = P / m´ = [ ((kg m 2 ) / s 3 ) / (kg /s) ] = [ m 2 /s 2 ] = W / m = [((kg m 2 ) / s 2 ) / kg] = [m 2 /s 2 ] Viably  (tunnus  U V ) on toteuttamiskapasiteetti. Viably on kahden pisteen välinen massallinen potentiaaliero. Viablyn ( U V ) yksikkö on siis saax ( S X ) joka on [ m 2 /s 2 ] . Trouble ( R T ) R T ( trouble ) = [ ω , o hmega ] = U V / m´ = [(m 2

Jallu 5. (T)

  Jallu 5. (T) Tämä on kertomus isäni ottoisän, Jallun elämästä. Lukeminen kannattaa aloittaa tarinasta  Jallu: Pistooli . Ja sen jälkeen edetä järjestyksessä ( Jallu 1. (T) )  Jne... Tietääkseni ainoa kuva Jallusta. Maisema on minulle lapsuudesta tuttu, mies ainoastaan tarinoista. Ja sitten mennään: 9. Katson oikeudekseni julkaista Valtiorikosylioikeuden Jallua koskevat paperit tässä yhteydessä koska niissä ei ole mitään salattavaa tai hävettävää ja koska ne jo löytyvät internetistä: Tässäpä nämä. Isot kiitokset avusta kaunokirjoituksen tulkitsemisessa Heidi Sini Johanna Partaselle ja Anssi Nousiaiselle! Seuraavassa olen hahmotellut Jallun sotatietä ja elämänkaarta vähän laajemminkin. Pohjana käytin näitä valtiorikosylioikeuden papereita ja sisällissodan ja varsinkin Riihimäen punakaartin historiaa. Perehdyin erityisesti Hyvinkään taisteluun, Riihimäen valtaukseen ja Lahden taisteluun.  Näistä kaikista löytyy runsaasti tietoa netistä joten en ala niitä sen tarkemmin tässä yhteydessä k

Kuolema

Kuolema Jos on elämä jännä juttu niin onpa se kyllä kuolemakin. Kuoleman kuva on mustavalkoinen ja liikkumaton. Niin kuin mustavalkoinen valokuva joita esitellään vieraille siinä vaiheessa kun halutaan että lähtevät. Lähtevätpä ne kyllä kuolemiakin esittelemällä... Ääniä ei kuulostaisi olevan ollenkaan. Tuoksujakaan ei ole kuin yksi, sellainen vähän makea. Maku lienee makuasia mutta "ihminen on ihmiselle sushi" sanoi ihmissyöjä. Kuolemankin voi kyllä tuntea, ainakin sen esivaiheet. Ainakin jos ne ovat hitaita ja tuskallisia. Kuolemassa nopeus (v) ajan (t) funktiona näyttäisi ainakin päälle päin katsottuna olevan nolla metriä sekunissa. Eli kun ei ole nopeutta ei ole suuntaakaan. Ja  v ektorisuuretta   voidaan  käsitellä skalaarina. Kuolema näköjään yksinkertaistaa asioita. Kuolemaakin voi leventää. Jos sattuu olemaan lännentuohta eli sitä mitä köyhä kansa sanoi ennen rahaksi. Rikkaillahan arkinen sana "kuolla" on korvattu komealta kalskahtavalla "menehtyä"